Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен по­ло­ви­не ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, ко­то­рый яв­ля­ет­ся осе­вым се­че­ни­ем, по­это­му этот ра­ди­ус равен 3 см.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под бук­вой в).

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен по­ло­ви­не ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, ко­то­рый яв­ля­ет­ся осе­вым се­че­ни­ем, по­это­му этот ра­ди­ус равен 2 см.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под бук­вой б).

Про­ве­дем осе­вое се­че­ние ко­ну­са, по­лу­чим рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник SAB и опи­сан­ную во­круг него окруж­ность (боль­шая окруж­ность дан­ной сферы). По усло­вию тогда

Тре­уголь­ник SOB пря­мо­уголь­ный, тогда имеем:

Най­дем объем ко­ну­са по фор­му­ле

По усло­вию тогда OB  =  3 см, AB  =  2OB  =  6 см.

По след­ствию из тео­ре­мы си­ну­сов тогда

По фор­му­ле пло­ща­ди опи­сан­ной сферы по­лу­чим:

Ответ:

Про­ве­дем осе­вое се­че­ние ко­ну­са, по­лу­чим рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник SAB и опи­сан­ную во­круг него окруж­ность (боль­шая окруж­ность дан­ной сферы). Пусть об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са L  =  PB. Тогда ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са По фор­му­ле пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти

По усло­вию зна­чит, AB  =  2OB  =  2 см.

Най­дем ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти:

По фор­му­ле пло­ща­ди впи­сан­ной сферы по­лу­чим:

Ответ:

Рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник APC − осе­вое се­че­ние ко­ну­са

(). Най­дем по­ло­щадь тре­уголь­ни­ка APK:

Тогда:

От­сю­да По тео­ре­ме си­ну­сов из тре­уголь­ни­ка APK:

Най­дем те­перь пло­щадь сферы по фор­му­ле :

Ответ:

Рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник APK  — осе­вое се­че­ние ко­ну­са

По тео­ре­ме си­ну­сов: От­сю­да:

Длин­на OH равна рас­сто­я­нию от цен­тра сферы до точки C, тогда:

Ответ:

Пусть дан­ные за­да­чи изоб­ра­же­ны на ри­сун­ке (см. рис).

Вы­со­та ко­ну­са од­но­вре­мен­но яв­ля­ет­ся вы­со­той приз­мы, в ко­то­рую он впи­сан. Ра­ди­ус r окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са равен ра­ди­у­су окруж­но­сти, впи­сан­ной в ос­но­ва­ние приз­мы (рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник). Вы­ра­зим сто­ро­ну AB ос­но­ва­ния приз­мы:

Те­перь вы­ра­зим объёмы ко­ну­са и приз­мы:

Таким об­ра­зом, объём приз­мы боль­ше объёма ко­ну­са в раз. Имеем:

Ответ: 54 см³.

Пусть дан­ные за­да­чи изоб­ра­же­ны на ри­сун­ке (см. рис).

Вы­со­та ко­ну­са од­но­вре­мен­но яв­ля­ет­ся вы­со­той приз­мы. Ра­ди­ус R окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са равен ра­ди­у­су окруж­но­сти, опи­сан­ной около ос­но­ва­ния приз­мы (рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка). Вы­ра­зим сто­ро­ну AB ос­но­ва­ния приз­мы:

Те­перь вы­ра­зим объёмы ко­ну­са и приз­мы:

Таким об­ра­зом, объём приз­мы боль­ше объёма ко­ну­са в раз. Имеем:

Ответ: 27 см³.

Рас­смот­рим че­ты­рех­уголь­ник KOMP: Тре­уголь­ник KOP пря­мо­уголь­ный, В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке KHO KO = 1,5, тогда Най­дем объем впи­сан­но­го ко­ну­са:

Ответ:

Рас­смот­рим тре­уголь­ник AOP: AP = 6, тогда Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник AKO: тогда В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке KHO: тогда Най­дем объем впи­сан­но­го ко­ну­са:

Ответ:

При­мем длину об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са за тогда ра­ди­ус сек­то­ра также равен На­хо­дим длину дуги сек­то­ра Так как то В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке POA по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Вы­чис­лим объем ко­ну­са, ис­поль­зуя все име­ю­щи­е­ся дан­ные:

Ответ:

При­мем длину об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са за тогда ра­ди­ус сек­то­ра также равен На­хо­дим длину дуги сек­то­ра Так как то В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке POA по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Вы­чис­лим объем ко­ну­са, ис­поль­зуя все име­ю­щи­е­ся дан­ные:

Ответ:

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са равна пло­щадь окруж­но­сти равна а пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти усечённого ко­ну­са равна Пусть от­но­ше­ние мень­ше­го из от­рез­ков вы­со­ты ко всей вы­со­те равно k, тогда ра­вен­ство пло­ща­дей можно пред­ста­вить как

Под­ста­вим зна­че­ния, а затем вы­чис­лим ко­эф­фи­ци­ент:

Те­перь, ис­поль­зуя най­ден­ный ко­эф­фи­ци­ент, найдём от­но­ше­ние от­рез­ков высот:

Ответ:

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са равна пло­щадь окруж­но­сти равна Пусть от­но­ше­ние мень­ше­го из от­рез­ков вы­со­ты ко всей вы­со­те равно k, тогда ра­вен­ство пло­ща­дей можно пред­ста­вить как

Под­ста­вим зна­че­ния, а затем вы­чис­лим ко­эф­фи­ци­ент:

Те­перь, ис­поль­зуя най­ден­ный ко­эф­фи­ци­ент, найдём от­но­ше­ние от­рез­ков высот:

Ответ:

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са равна пло­ща­ди его раз­верт­ки, то есть пло­ща­ди сек­то­ра.

Ответ: б).

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са равна пло­ща­ди его раз­верт­ки, то есть пло­ща­ди сек­то­ра.

Ответ: г).

Про­ве­дем осе­вое се­че­ние ко­ну­са, по­лу­чим тре­уголь­ник ABS и впи­сан­ное в него диа­го­наль­ное се­че­ние куба  — пря­мо­уголь­ник KK₁M₁M. По усло­вию AB = BS, тогда тре­уголь­ник ABS рав­но­сто­рон­ний. Пусть OB = r, тогда BS = l = 2r. Зная, что пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са равна 72 най­дем r:

Тогда AB = SB = 12. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра SO = 6 Пусть MM₁ = x, тогда MK = x. Имеем:

Тре­уголь­ник SO₁K₁ по­до­бен тре­уголь­ни­ку SOB по двум углам, тогда:

Ответ:

Про­ве­дем осе­вое се­че­ние ко­ну­са, по­лу­чим тре­уголь­ник ABS и впи­сан­ное в него диа­го­наль­ное се­че­ние куба  — пря­мо­уголь­ник KK₁M₁M. По усло­вию AS = BS и угол SBO равен 60°, то тре­уголь­ник ABS рав­но­сто­рон­ний. Пусть OB = r, тогда BS = l = 2r. Зная, что пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са равна най­дем r:

Тогда AB = SB = 8. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра SO = 4 Пусть MM₁ = x, тогда MK = x. Имеем:

Тре­уголь­ник SO₁K₁ по­до­бен тре­уголь­ни­ку SOB по двум углам, тогда:

Ответ:

Най­дем ра­ди­ус ос­но­ва­ния опи­сан­но­го ко­ну­са, зная длину этой окруж­но­сти по­лу­чим

Так как дан­ная пи­ра­ми­да пра­виль­ная по усло­вию, то в ее ос­но­ва­нии лежит пра­виль­ный тре­уголь­ник. Тогда, зная, что ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти в два раза боль­ше ра­ди­у­са впи­сан­ной окруж­но­сти, по­лу­чим

Най­дем объ­е­мы обоих впи­сан­ных ко­ну­сов и вы­чис­лим их раз­ность:

Ответ:

Най­дем ра­ди­ус ос­но­ва­ния впи­сан­но­го ко­ну­са, зная длину этой окруж­но­сти

Так как дан­ная пи­ра­ми­да пра­виль­ная по усло­вию, то в ее ос­но­ва­нии лежит квад­рат. Тогда, зная, что ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти в ко­рень из двух раз боль­ше ра­ди­у­са впи­сан­ной окруж­но­сти, по­лу­чим

Най­дем объ­е­мы обоих впи­сан­ных ко­ну­сов и вы­чис­лим их раз­ность:

Ответ: